Что такое Функция в Алгебре?
Две переменные величины называются связанными функциональной зависимостью, если каждому значению одной из них соответствует одно или несколько определенных значений другой. Первая величина называется независимой переменной, а вторая— зависимой переменной или функцией. Если каждому значению независимой переменной соответствует одно значение функции, то функция называется однозначной, в противном случае— многозначной. Приняв х за абсциссу, а у за ординату точки, построим точки, полученные в таблицах, и соединим их плавной кривой. Тогда получим кривую линию, изображенную на рис. Основные теоремы о пределах функций Очевидно, что Построенная последовательность отрезков удовлетворяет условиям приведенного на с. Поэтому такое, что Так как функция непрерывна, то Но по построению имеем Отсюда и из приведенного на с. 37 следствия 8.1 получим одновременно, т. Простейшей является ситуация, когда и существует конечный предел (см. рис. 13 а). Точку в этом случае называют устранимой точкой разрыва. Например, таким свойством обладает определенная на с. 44 функция Дирихле (10.1) (покажите это!). Найти предел Из таблицы 2 (см. с. 57) эквивалентных бесконечно малых функций следует, что следовательно, учитывая свойство непрерывности функции получим Более высокого порядка, чем функция Замечательные пределы (12.1)—(12.5) позволяют получить ряд примеров эквивалентных при функций, некоторые из которых приведены в таблице 2. Функция, обратная данной Разрешая его относительно у, получим В котором коэффициенты А, B, С, D, Е, F — заданные числа. Это уравнение можно разрешить относительно у. Полученное выражение у через х будет достаточно сложным. Поскольку из уравнения (I) мы найдем выражение у через х, то можно сказать, что уравнение (I) определяет у как функцию х. Алгебраической называется такая функция, над аргументом которой производится конечное число алгебраических операций (сложение, вычитание, умножение, деление и возвышение в рациональную степень). Функция называется неявной, если задающее ее уравнение не разрешено относительно этой функции. Функции делятся на явные и неявные. Функция называется явной, если уравнение задающее ее, разрешено относительно этой функции. Если непрерывная функция меняет знак подряд несколько раз, то график ее пересекает ось Ох столько же раз (рис. 80). Непрерывность функции в точке Этой формулой задана функция Поменяв х и у местами, получим соответствующие пары для функции Значит, обратная функция в данном случае задается формулой Пусть дана обратимая функция В силу того, что функция обратимая, существует функция — обратная данной функции. Как известно, функцию можно задать при помощи пар соответствующих значений аргумента и функции Тогда функцию можно задать при помощи пар Докажем теперь, что графики любых двух взаимно обратных функций симметричны относительно прямой (биссектрисы первого и третьего координатных углов). Полученный таким образом график функции изображен на рис. ► Пусть Тогда в силу непрерывности функции в точке имеем Далее, в силу непрерывности функции в точке имеем Следовательно, Показать, что функция непрерывна в произвольной точке . Требуется показать, что для такое, что если Так как для произвольного верны неравенства то Показать, что функция непрерывна в точке Имеем Далее, Говорят, что функция непрерывна в точке если для такое, что из следует Способы задания функций Пусть — некоторая функция с областью определения D и — предельная точка области D. В определении предела функции при подчеркивалось, что значение не учитывается при вычислении предела. Это значение даже может не входить в область определения функции; если же то значение А предела функции может не совпадать со значением ► Пусть число А является пределом функции по первому определению. Предположим, что тем не менее второму определению функция не удовлетворяет. Функция g называется обратной функцией. Функция не определена при поэтому ее функции фондовой биржи график не пересекает ось Оу. В силу четности функции график симметричен относительно оси Оу. Если то значения функции всегда положительны, т. Возьмём любую функцию и попробуем найти первые 10 значений при каких-то значениях переменной икс. Возьмём натуральные числа от нуля до девяти. Где f — обозначение слова «функция» (function), y — зависимая переменная, х — аргумент. Являются вертикальными асимптотами графика данной функции (рис. 5.16). В последнем случае называется точкой устранимого разрыва. Разность называется скачком функции в точке . Функция имеет в точке разрыв второго рода, если хотя бы один из односторонних пределов функции в этой точке не существует или равен бесконечности. Возьмём любую функцию и попробуем найти первые 10 значений при каких-то значениях переменной икс. Если то значения функции всегда положительны, т. Функция называется явной, если уравнение задающее ее, разрешено относительно этой функции. Следовательно, функция будет убывающей, если и возрастающей, если во всей области определения этой фунции, т. Функция определена на множестве всех чисел, нечетная и монотонная. Мы уже показали, что функция является нечетной. Докажем теперь, что она монотонна. Пусть дана функция Покажем, что если эта функция задана на множестве то она не является обратимой функцией. Из того, что следует, что она принимает каждое свое значение два раза. А обратимая функция принимает каждое свое значение только один раз. Следовательно, эта функция не обратима. Ясно, что область определения этой функции — множество действительных чисел, а область значений — множество неотрицательных чисел. Покажем более простой способ построения графика ли ней ной функции. 46, в видно, что гипербола состоит из двух ветвей, расположенных в I и III координатных углах. Основными способами задания функций являются аналитический, табличный и графический. Данный график функций является немонотонным, и непрерывным, значит он имеет промежутки возрастания и убывания, между которые находятся точки экстремумов. Например, парабола, ветви которой направлены вверх, всегда будет ограничена снизу, как бы мы её не перемещали по координатной плоскости. Она всегда будет иметь минимальное значение функции, ниже которой не опустится. А вот линейная функций нигде не ограничена, т.к. Бесконечно малые функции Покажем, что графики функций конгруэнтны. На основании этих примеров можно сделать следующие выводы о графике функции Мы уже знаем, что функция определена на множестве всех чисел, является четной, возрастающей, если и убывающей, если Пусть функция задана формулой определенной на множестве всех чисел.